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Apresento-lhes o fractal de newton.
Ele é criado da seguinte maneira. Você escolha uma função de variável complexa, e.g. f(z), no caso foi escolhido f(z) = z^4 - 1 .
Essa função é igual a zero em quatro casos: quando z é igual a 1,-1,i ou -i.
Agora utilizaremos um método computacional para encontrar o zero da função, note que nós já sabemos (1,i,-1,-i) mas vamos analisar o comportamento do método.
O método de newton (e daí o nome) vai calcular o zero dessa função para todos os pontos que quisermos. Quando avaliarmos em qual dos 4 zeros possíveis ele chegou nós pintamos esse ponto no plano complexo (como o acima) com uma cor correspondente à essa solução.
No caso: 1 azul, i magenta, -1 verde, -i vermelho.
Dependendo da quantidade de pontos a imagem fica bem resolvida e você percebe o fractal de newton. Quando você não consegue calcular o zero, você pinta de preto.
Que tal esse?
Esse é para a função g(z) = z^3 - 1 . Note que não há a cor vermelha, já que z=-1 não é solução para g(z)=0.
Agora vamos dar um zoom e delocalizar do centro de simetria. Encontramos o que já poderíamos esperar, as estruturas que se repetem infinitamente:
Encontramos os conjuntos repetindo sua estrutura, até o infinito ou até o infinitesimal em todas as direções.
Agora vamos ver as estruturas para g(z):
Podemos ainda criar uma imagem ainda mais interessante, aumentando o número iterações (que determinam quais pontos podemos calcular) e fazendo uma relação da intensidade da cor com o número de iterações. Vamos dar um zoom nessa imagem de cima no canto superior direito, mudar as cores e aplicar esse degradé:
Quem disse que matemática não é arte?
Enfim, valeu um ponto extra na média da disciplina cálculo numérico, espero que tenham gostado. Gastei duas noites pra programar isso.
Ele é criado da seguinte maneira. Você escolha uma função de variável complexa, e.g. f(z), no caso foi escolhido f(z) = z^4 - 1 .
Essa função é igual a zero em quatro casos: quando z é igual a 1,-1,i ou -i.
Agora utilizaremos um método computacional para encontrar o zero da função, note que nós já sabemos (1,i,-1,-i) mas vamos analisar o comportamento do método.
O método de newton (e daí o nome) vai calcular o zero dessa função para todos os pontos que quisermos. Quando avaliarmos em qual dos 4 zeros possíveis ele chegou nós pintamos esse ponto no plano complexo (como o acima) com uma cor correspondente à essa solução.
No caso: 1 azul, i magenta, -1 verde, -i vermelho.
Dependendo da quantidade de pontos a imagem fica bem resolvida e você percebe o fractal de newton. Quando você não consegue calcular o zero, você pinta de preto.
Que tal esse?
Esse é para a função g(z) = z^3 - 1 . Note que não há a cor vermelha, já que z=-1 não é solução para g(z)=0.
Agora vamos dar um zoom e delocalizar do centro de simetria. Encontramos o que já poderíamos esperar, as estruturas que se repetem infinitamente:
Encontramos os conjuntos repetindo sua estrutura, até o infinito ou até o infinitesimal em todas as direções.
Agora vamos ver as estruturas para g(z):
Podemos ainda criar uma imagem ainda mais interessante, aumentando o número iterações (que determinam quais pontos podemos calcular) e fazendo uma relação da intensidade da cor com o número de iterações. Vamos dar um zoom nessa imagem de cima no canto superior direito, mudar as cores e aplicar esse degradé:
Quem disse que matemática não é arte?
Enfim, valeu um ponto extra na média da disciplina cálculo numérico, espero que tenham gostado. Gastei duas noites pra programar isso.
postado por Badoso @ 23:27
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